Im letzten Video haben wir uns einen Existenzbeweis angeschaut, der konstruktiv

Tensorprodukte zwischen beliebigen reellen Vektorräumen angegeben hat. Das heißt,

wir haben zum einen gezeigt, dass solch ein Tensorprodukt immer existiert, zum anderen

haben wir auch einen Weg gesehen, wie man kanonisch solch ein Tensorprodukt mit Hilfe

der entsprechenden Basis-Elemente definieren kann. In diesem Video werden wir uns mit

sogenannten natürlichen Homo- und Isomorphismen des Tensorprodukts beschäftigen und ich kann

Sie vorab warnen, dies wird vermutlich eines der abstraktesten Themen dieser Vorlesung sein.

Wir werden dort sehr viele Abbildungen zwischen unterschiedlichen Räumen und Funktionenräumen

betrachten und wegen dieser Abstraktheit wollen wir das Ganze auch ein bisschen in Ruhe und mit

viel Zeit durchdiskutieren. Wir kennen insgesamt von vielen Operationen in der Mathematik interessante

Eigenschaften wie beispielsweise die Kommutativität oder Assoziativität von Operatoren und solche

Eigenschaften gelten a priori erstmal nicht für das Tensorprodukt. Allerdings können wir

Isomorphismen herleiten, die uns an diese Rechenregeln sozusagen erinnern und die

Eigenschaften wie Kommutativität und Assoziativität nachbilden. Das heißt es ist durchaus möglich

beim Tensorprodukt die linke und rechte Seite zu vertauschen, das ist dann nicht exakt dasselbe,

aber man weiß es gibt dann einen Isomorphismus, der entsprechend zwischen den gebildeten

Tensorprodukträumen hin und her abbildet. Weil so etwas geht, nennt man solche Isomorphismen auch

natürlich oder kanonisch, das heißt in der Literatur werden die als natürliche Isomorphismen oder

kanonische Isomorphismen bezeichnet, weil sie im Prinzip auf die naheliegendste Art und Weise

definiert sind und zurückzuführen sind auf die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts. Wir

wollen in dieser Vorlesung beginnen die wichtigsten Eigenschaften festzuhalten, dazu formulieren wir

das folgende Lemma. Nennen wir es natürliche Isomorphismen des Tensorprodukts.

Jetzt werden wir die wichtigsten Rechenregeln in Anführungszeichen mal festhalten, dazu brauchen

wir verschiedene Vektorräume, damit die Definitionen Sinn ergeben, es seien also im folgenden V1 bis V4

reelle Vektorräume. Die sind beliebig, die können auch unendlich dimensional sein, wichtig ist,

dass sie über dem Körper R definiert sind. Dann existiert für das Tensorprodukt die folgenden

Isomorphismen. Wir haben schon gesehen am Ende des letzten Videos, dass wir nur noch von dem

Tensorprodukt sprechen, da wir gemerkt haben, dass es immer Isomorphien zwischen diesen Tensorprodukten

gibt, egal wie die definiert sind, wir können die immer einander umrechnen, darum ist es erlaubt und

wohl definiert, dass wir von dem Tensorprodukt sprechen. Die folgenden Isomorphismen. Das erste

bildet sozusagen die Komputativität nach des Tensorprodukts, das heißt die erste Eigenschaft

ist, dass der Tensorproduktraum V1, Tensor V2 isomorph ist mit der Vertauschung der linken und

rechten Seite, sprich V2 Tensorprodukt V1 und das heißt es gibt im Endeffekt ein Isomorphismus,

der bildet Tensoren der Form V1, Tensor V2, also klein geschrieben, ab auf Tensoren V2,

Tensor V1, genau das ist sozusagen die Komputativität, das kann es immer in

Anführungszeichen im Prinzip, da wir keine echte Gleichheit haben, sondern nur Isomorphie. Das

nächste ist die Assoziativität, die wir formulieren wollen, das heißt wenn wir das Tensorprodukt oder

den Tensorproduktraum V1, Tensor V2 betrachten, so geklammert und dann das Tensorprodukt mit einem

Raum V3 uns anschauen, dann ist das Isomorph dazu, dass man erst die rechte Seite sich anschaut als

Tensorproduktraum und dann mit der linken Seite ein Tensorprodukt bildet, das heißt ich kann die

Klammerung vertauschen wie ich möchte, bis auf Isomorphie, das heißt hier kommt das gleiche

heraus wie V2, Tensorprodukt V3, das heißt hier gibt es auch wieder eine Abbildung, die genau das

auf den Elementen den Tensoren tut, V1, Tensor V2, geklammert im Tensorprodukt mit V3, das wird mit

einem Isomorphismus abgebildet auf V1, Tensorprodukt V2, Tensor V3 und das ganze ist sozusagen die

Assoziativität, wenn wir die Klammern vertauschen können oder umklammern dürfen, das heißt die

Reihenfolge spielt bis auf Isomorphismus keine Rolle. Kommen wir zu dritten Eigenschaft, das ist

relativ trivial, nämlich Produkte mit Skalaren, die geben im Prinzip denselben Raum, das heißt

wenn ich den Tensorproduktraum von R, den reellen Zahlen betrachte mit einem beliebigen Vektorraum

V1, dann ist das ganze immer noch Isomorph zu V1 und das heißt insbesondere, dass Skalare im

Tensorprodukt keine Wirkung haben, sondern nur ein vielfaches Ergebnis, das heißt Alpha im